Lattice QCD per principianti - 10/N

Osservabili fisiche

Trascurando alcuni dettagli assolutamente non secondari (esempio: come si fanno poi praticamente le simulazioni? Dettagli che cercherò di svelare in seguito) vediamo quali sono le osservabili fisiche (o almeno, alcuni selezionati esempi) che possiamo estrarre da una simulazione, o da una serie coordinata di simulazioni, e come possiamo farlo. Nell'immediato seguito daremo quindi per scontato di avere a disposizione un algoritmo, un programma, un concreto supercomputer, e di poter estrarre configurazioni di campi di gauge $U_\mu(x)$ (ricordate che i campi fermionici sono stati esplicitamente integrati via a priori con l'equazione di Matthews-Salam, quindi nella configurazione di gauge è già presente il contributo dei quark dinamici, o, come anche si dice, di mare). Avremo dunque una serie di configurazioni, ${\cal C}_i,\;\;i = 1,\dots, M$ all'equilibrio, che registriamo fedelmente su qualche dispositivo di storage perché generare queste configurazioni costa un botto di tempo, e magari vorremo riutilizzarle per calcolare altre osservabili che al momento non ci vengono in mente. Avendo a disposizione il set di configurazioni, con tutta calma possiamo calcolare le nostre medie $$ \langle {\cal O} \rangle = \frac{1}{M}\sum_i {\cal O}_i $$ in cui ovviamente $ {\cal O}_i $ è il valore dell'osservabile nella configurazione ${\cal C}_i$. 

Uno dei primi obiettivi che si sono proposti i pionieri di Lattice QCD (e posso immodestamente dire di essere tra questi: ho cominciato a lavorare nel campo per la mia tesi di laurea, nel 1990, e all'epoca la potenza di calcolo che avevamo a disposizione era $1$ Gflop, cioè un miliardo di operazioni in virgola mobile al secondo, e il "supercomputer" che permetteva questra stratosferica - per l'epoca - potenza di calcolo era grosso come un armadio a un'anta; il cellulare con cui state leggendo queste note adesso è di certo più potente) è stato quello del calcolo delle masse adroniche. Il motivo è presto detto. La QCD perturbativa funzionava alla grande (Deep Inelastic Scattering and the like), la natura asintoticamente libera della teoria era stata chiaramente esplicitata dai conti teorici, ma restava comunque il fatto che tutto questo era valido ad alte energie; la massa degli adroni è invece un fenomeno di bassa energia, un regime in cui la teoria delle perturbazioni non funziona perché la costante d'accoppiamento rinormalizzata è molto grande. La domanda fondamentale era quindi: la QCD prevede anche le masse adroniche? Se fosse stato vero avremmo fatto bingo: QCD funziona sia ad alte energie, comprovato perturbativamente, sia a basse energie, comprovato numericamente in maniera non-perturbativa.

Masse adroniche

Prendiamo in considerazione la seguente quantità: $$ G(t) = \sum_{\mathbf{x}} \langle {\cal O}(\mathbf{x},t) {\cal O}^\dagger(\mathbf{0},0)\rangle $$ Per questa discussione ho scisso la quadricoordinata $x$ nella sua parte spaziale, $\mathbf{x}$, e in quella temporale, $t$. Ora voi direte: "ehi, Ciccio, ce stai a pijà in giro, hai detto che stiamo nell'euclideo, sono tutte coordinate spaziali...". Vero. Ciò non toglie che possiamo arbitrariamente decidere che una delle coordinate sia quella che chiamiamo "tempo", ossia quella che quando ruotiamo indietro al minkowskiano diventa "tempo". ${\cal O}$ è un cosiddetto operatore interpolante: per esempio, se ${\cal O}$ ha i numeri quantici del protone, allora l'operatore ${\cal O}^\dagger(\mathbf{0},0)$ crea un protone nel punto $(\mathbf{0},0)$ e ${\cal O}(\mathbf{x},t)$ lo distrugge nel punto $(\mathbf{x},t)$. La somma su $\mathbf{x}$ è necessaria per proiettare sullo stato di momento spaziale nullo.

Si può dimostrare che $G(t)$, che altro non è se non il propagatore euclideo a momento spaziale nullo del protone (sempre per fare un esempio), si comporta in questo modo: $$ G(t) = A_0 \text{e}^{-mt} + A_1 \text{e}^{-m_1t} + \cdots $$ $m$ è la massa che vogliamo trovare, la massa della nostra particella; $m_1$ è la massa del primo stato eccitato di detta particella, quindi $m_1 \gt m$ (il punto è che l'operatore ${\cal O}^\dagger$ crea sì la particella, ma anche tutti i suoi stati eccitati); $m_2$, che non ho scritto esplicitamente ma che potete facilmente immaginare, la massa del secondo stato eccitato, $m_2 \gt m_1 \gt m$; e così via; le $A_i$ sono quantità che per il  momento non ci preme di definire meglio.

Quindi, a parte correzioni che vanno più o meno velocemente a $0$ (ed esistono tecniche per trovare operatori che abbiano il massimo overlap possibile con lo stato fondamentale, di fatto diminuendo di molto il contributo degli stati eccitati), abbiamo $$ \lim_{t\to\infty}\frac{G(t+1)}{G(t)} = \text{e}^{-m} $$ (nelle espressioni precedenti ho implicitamente assunto $a = 1$), e basta prendere il logaritmo di questo rapporto, a parte un segno meno, per avere la massa $m$. Voilà. Notate che non si può calcolare la massa configurazione per configurazione: per estrarre la massa occorre prima ottenere $G(t)$, che è un valore d'aspettazione, quindi mediato sulle configurazioni. La massa è una così detta osservabile secondaria, e questo comporta che per calcolarne l'errore statistico non possiamo ricorrere alle formule ingenue sulla varianza, eccetera. Dobbiamo usare tecniche più sofisticate, tipo il jackknife o il bootstrap. Di questo forse parlerò, forse no.

Nella figura che segue potete vedere la massa effettiva, ossia proprio $-\log(G(t+1)/G(t))$, nel caso del pione (tenete conto che è una figura molto vecchia, l'ho presa solo come esempio) con due diversi operatori interpolanti.

In entrambi i casi vedete che dopo un transiente iniziale gli stati eccitati "muoiono" e i punti vanno asintoticamente a un plateau che rappresenta il valore della massa del pione (in unità reticolari).

Un esempio concreto: il pione

Il pione è l'adrone più leggero; è un mesone pseudoscalare, composto da un quark up e un antiquark down (o viceversa). In realtà dovrei dire "i pioni", perché ne esistono tre varietà: $\pi^{+}$ ($u\bar{d}$), $\pi^{-}$ ($d\bar{u}$) e $\pi^{0}$ ($u\bar{u}+d\bar{d}$). Insieme formano un tripletto di isospin $I = 1$. La massa del $\pi^{0}$, $135$ MeV, è leggermente più piccola di quella dei pioni carichi ($139.6$ MeV). Concentriamoci sul $\pi^{+}$ e chiamiamolo genericamente "pione". Se trascuriamo le interazioni elettrodeboli, il pione è una particella stabile, cioè non decade in altre particelle più leggere. Chiamando $u$ e $d$ i campi spinoriali dei quark up e down, un buon operatore interpolante in grado di creare un pione è $d\gamma^{5}\bar{u}$. In questa sezione sarò tirchio di indici, altrimenti diventa un casino, ma è chiaro che l'espressione precedente va letta come $$ d_{a,\alpha}\gamma^{5}_{\alpha,\beta}\bar{u}_{a,\beta} $$ con somma implicita sugli indici ripetuti. $a$ in questo caso è un indice di colore. Allora per il propagatore del pione a momento spaziale nullo possiamo scrivere $$ G(t) = \sum_{\mathbf{x}} \langle u(x)\gamma^{5}\bar{d}(x) d(0)\gamma_5\bar{u}(0) \rangle $$ in cui è inteso che $x = (\mathbf{x},t)$. Trascurando in maniera brutale i segni meno che escono fuori dall'anticommutatività dei campi fermionici e contraendo i campi, otteniamo $$ G(t) = \sum_{\mathbf{x}} \langle \gamma^{5}S_d(0,x)\gamma^{5}S_u(x,0) \rangle $$ in cui $S_q(x,0)$ è il propagatore del quark $q$ da $0$ a $x$. Ma esiste una relazione "magica" (in realtà facile da dimostrare): $\gamma^{5}S\gamma^{5} = S^{\dagger}$. Quindi $$ G(t) = \sum_{\mathbf{x}} \langle S^{\dagger}_d(x,0)S_u(x,0) \rangle $$ in cui ora il $\dagger$ agisce solo sugli indici di spin e di colore, perché quelli spazio-temporali li ho invertiti "a mano". Agevolo infografica:

Tutto il problema si riduce al calcolo del propagatore del quark su una configurazione di gauge data; ma il propagatore è esattamente l'inverso della matrice di accoppiamento fermionica; in altre parole il propagatore $S$ è la soluzione dell'equazione $$ M(x,y)S(y,0) = \delta_{x,0} $$ in cui $\delta_{x,0}$ è una delta di Kronecker (nel continuo sarebbe una delta di Dirac). Fate attenzione al fatto che ho soppresso gli indici di spin e di colore, ma anche quelli vanno considerati.

Poiché $M$ è una matrice estremamente sparsa, il modo migliore per trovare la sua inversa (o meglio la sua inversa applicata a un vettore di tipo delta) è quello di usare metodi iterativi, ossia algoritmi tipo gradiente coniugato o sue evoluzioni recenti. Un grande sforzo algoritmico, negli ultimi decenni, ci ha permesso di trovare algoritmi che convergono velocemente alla soluzione anche quando la massa del quark è "piccola" e quindi il sistema lineare che dobbiamo risolvere risulta mal condizionato.

Un'ultima piccola nota per questa puntata. Il propagatore del quark è una quantità gauge-dipendente. Se calcolassimo il suo valore d'aspettazione sull'onesta serie di configurazioni che abbiamo generato, otterremmo $0$ + rumore statistico. Il propagatore del pione invece è formato da due linee fermioniche (vedi figura sopra) che si chiudono tra loro, ed è quindi una quantità gauge-invariante.