Azione Parallela

Quisquilie e pinzellàcchere Avevo promesso almeno un bonus track, ossia come all'atto pratico si portano avanti le simulazioni. L'affare è altamente non banale e spero di riuscire a rendere almeno l'idea. Ci sono altre questioni pratiche che ho lasciato in sospeso. Per esempio come si trattano i gradi di libertà fermionici; li si deve prendere con le molle, con estrema cautela, perché causano casini: non si può discretizzare in maniera ingenua l'equazione di Dirac. Varie ed eventuali. Vamos. Hybrid Monte Carlo Ricapitolo l'algoritmo di Metropolis per chi se lo fosse perso: Prendi una qualsiasi variabile di campo del tuo sistema; nel nostro caso, una variabile di link, quindi una matrice $\text{SU}(3)$; Modificala un po'; Calcola il cambiamento di azione $\Delta S$; Accetta la nuova configurazione con probabilità $\text{min}\{1,\exp(-\Delta S)\}$, e in caso di mancata accettazione tieni la vecchia configurazione; Torna al punto 1 un numero sufficiente di volte. O...

Il calcolo di $\alpha_{\text{strong}}$ Oramai anche gli studenti delle superiori imparano, verso la fine del loro corso di studi, che il valore della così detta costante di struttura fine è $$ \alpha_{\text{em}} = \frac{1}{137.05999\cdots} $$ familiarmente nota come uno su centotrentasette . Al netto di costanti dimensionali, tipo $c\hbar$, che servono a rendere $\alpha_{\text{em}}$ adimensionale e che comunque in unità naturali valgono $1$, e al netto di eventuali fattori $4\pi$ (che i più audaci tendono comunque a porre uguale a $1$), la costante di struttura fine è sostanzialmente il quadrato della carica elettrica dell'elettrone, e cioè il quadrato della costante d'accoppiamento della QED. Ciò che forse è meno noto è che il valore numerico di $\alpha_{\text{em}}$ dipende dalla scala a cui la si misura. Per esempio, alla scala dello $Z$ ($m_Z \simeq 91\,\text{GeV}$) si trova $\alpha_{\text{em}}(\mu=m_Z) \simeq 1/128$, cioè $\alpha_{\text{em}}$ cresce al crescere dell...

Osservabili fisiche Trascurando alcuni dettagli assolutamente non secondari (esempio: come si fanno poi praticamente le simulazioni? Dettagli che cercherò di svelare in seguito) vediamo quali sono le osservabili fisiche (o almeno, alcuni selezionati esempi) che possiamo estrarre da una simulazione, o da una serie coordinata di simulazioni, e come possiamo farlo. Nell'immediato seguito daremo quindi per scontato di avere a disposizione un algoritmo, un programma, un concreto supercomputer, e di poter estrarre configurazioni di campi di gauge $U_\mu(x)$ (ricordate che i campi fermionici sono stati esplicitamente integrati via a priori con l'equazione di Matthews-Salam, quindi nella configurazione di gauge è già presente il contributo dei quark dinamici, o, come anche si dice, di mare ). Avremo dunque una serie di configurazioni, ${\cal C}_i,\;\;i = 1,\dots, M$ all'equilibrio, che registriamo fedelmente su qualche dispositivo di storage perché generare queste configurazion...

Vi starete chiedendo perché nella scorsa puntata ho fatto una digressione sulla teoria delle perturbazioni nel continuo. In realtà me lo sto chiedendo pure io, ma vi sarete resi conto che sto navigando un po' a vista, non ho un piano prestabilito ben congegnato; benché umilmente, allo stesso modo del Sommo Poeta, quando nel Purgatorio incontra Bonagiunta da Lucca, dico: [...] I' mi son un, che quando Amor mi spira, noto, e a quel modo ch'e' ditta dentro vo significando. Detto questo, lasciatemi introdurre una buona approssimazione della QCD, che per motivi che saranno subito chiari chiameremo Light-QCD: una QCD con solo due flavour di quark, up e down , sostanzialmente massless. Assumeremo di poter simulare questa teoria (è un po' un problema, ma con opportuni accorgimenti si può fare) e se la mettiamo su reticolo la chiamiamo LLQCD (Lattice-Light-QCD). LQCD è  una buona approssimazione di QCD: i quark up e down sono molto più leggeri dello strange ...

Finalmente la QCD Siamo finalmente in grado di scrivere, almeno formalmente, e con molti accorgimenti che dovrò spiegare, l'azione di QCD su reticolo. Rispetto alle due puntate precedenti, ora $U_\mu(x)$ è un elemento del gruppo $\text{SU}(3)$, cioè una matrice complessa $3 \times 3$ tale che $\det(U_\mu(x)) = 1$ e $U^\dagger_\mu(x) = U^{-1}_\mu(x)$. Il campo spinoriale $\psi(x)$ rimane un campo spinoriale, con la differenza che oltre ai $4$ indici di Dirac acquista altri $3$ indici di colore, quindi in totale su ogni sito $x$ ci ritroviamo con $12$ gradi di libertà di Grassmann. Dividiamo l'azione in una parte puramente di gauge e in una parte fermionica: possiamo scrivere $S = S_g + S_f$. Per la parte di gauge abbiamo la famosa azione di Wilson: $$ S_g = \beta \sum_{x} \sum_{\nu>\mu}\left\{ 1 - \frac{1}{3} \text{Re} \left[ \text{Tr}\,U_{\mu\nu}(x) \right] \right\} $$ in cui $\beta = 6/g^2$ (e $g$, manco devo ricordarvelo, è la costante di accoppiamento forte, bare, cioè...

QED su reticolo: 2 Nella puntata precedente abbiamo visto che per rendere gauge invariante (in senso locale) un'espressione tipo $\bar{\psi}(x)\psi(x + a\hat\mu)$ dobbiamo introdurre un nuovo campo, $U_\mu(x)$, che vive sui link del reticolo e che sotto trasformazioni di gauge si comporta in questo modo:  $$ U_\mu(x) \to \text{e}^{i\alpha(x)}U_\mu(x)\text{e}^{-i\alpha(x+a\hat\mu)} $$ In questo caso una roba tipo  $\bar{\psi}(x)U_\mu(x)\psi(x+a\hat\mu)$, che ci serve per scrivere le derivate discretizzate su reticolo, diventa gauge invariante. Ora il problema è capire se questo nuovo campo è un artefatto matematico che ci serve solo per far tornare le cose o ha un significato fisico. Per capirlo torniamo un attimo nel continuo euclideo e chiediamoci come rendere gauge invariante un'espressione tipo  $ \bar{\psi}(x)\psi(y) $. Sappiamo come fare: dobbiamo scrivere una cosa tipo $$ \bar{\psi}(x){\cal P}\exp\left( \int_{x}^{y}\text{d}z\, igA_\mu(z) \right) \psi(y) ...

Nelle puntate precedenti abbiamo visto che esiste una connessione profonda tra teorie di campo nel minkowskiano in $d$ dimensioni spaziali e una temporale, e teorie di meccanica statistica (nell'euclideo) in $d+1$ dimensioni spaziali. Il funzionale generatore delle funzioni a $n$ punti  della QFT diventa, dopo la rotazione di Wick, una funzione di partizione canonica, e l'azione diventa un'hamiltoniana (sempre tenendo conto del cambiamento di dimensioni e della possibile presenza di costanti d'accoppiamento, che probabilmente diventano qualcosa che ha a che fare con la temperatura). Introducendo un reticolo, ossia una discretizzazione dello spazio, operazione che peraltro ci rende "facile" definire, almeno come limite, la misura funzionale $[{\cal D}\phi]$, siamo riusciti a collegare direttamente la teoria $\phi^4$ al modello di Ising. Alcune cose dovrebbero essere chiare: Una volta definita la nostra QFT nell'euclideo, su reticolo, nessuno ci vieta, ...

Digressione numerica - 2/2 Ah, già, eravamo rimasti alle catene di Markov. Nome che come potrete facilmente comprendere mi è molto simpatico. Dunque, abbiamo visto che la distribuzione d'equilibrio del nostro sistema statistico è la distribuzione di Boltzmann: $$ P_{\text{eq}}({\cal C}) = \frac{\text{e}^{-\beta H[{\cal C}]}}{Z} $$ Il nostro obiettivo è quello di generare configurazioni ${\cal C}$ che siano distribuite in accordo a $P_{\text{eq}}$. Adesso immaginiamo di inizializzare il nostro sistema con una configurazione qualunque, scelta arbitrariamente (purché legale). Chiaramente questa configurazione non seguirà la distribuzione $P_{\text{eq}}$ ma una certa distribuzione arbitraria, quasi sicuramente ignota. Ma questo non ci importa. Adesso definiamo una regola stocastica che ci permetta di passare da una configurazione ${\cal C}$ a un'altra configurazione ${\cal C}'$. La probabilità di transizione $W({\cal C} \to {\cal C}')$ deve soddisfare due requisiti: ...

Digressione numerica - 1/2 Sì, va bene, tutto fico, tutto bello, ma alla fine noi vogliamo sapere come si fanno le simulazioni numeriche. Che ci faccio con tutto questo apparato teorico se poi non so farci i conti? Ok, come volete. Però dobbiamo ripartire dal modello di Ising. Abbiamo visto (lo abbiamo visto nel caso della magnetizzazione) che possiamo scrivere il valore di aspettazione di un certo osservabile $A$ in questo modo: $$\langle A \rangle = \frac{1}{Z}\sum_{\cal C} A[{\cal C}] \text{e}^{-\beta H[{\cal C}]}$$ Ricapitoliamo: ${\cal C}$ è una generica configurazione di spin; $\sum_{\cal C}$ è la somma su tutte le possibili configurazioni; $A[{\cal C}]$ è il valore che assume l'osservabile $A$ nella configurazione ${\cal C}$; $H[{\cal C}]$ è il valore dell'energia nella stessa configurazione; $Z = \sum_{\cal C} \text{e}^{-\beta H[{\cal C}]}$ è la funzione di partizione canonica del sistema; $\beta = 1/T$ (ci siamo messi in unità $k_{\text{B}} = 1$) in cui $T...

Ridicolizziamo lo spazio-tempo Riassunto delle puntate precedenti: Abbiamo scritto l'azione per una teoria di campo scalare, autointeragente, in 1+1 dimensioni; Tramite rotazione di Wick siamo passati all'euclideo; Troviamo che l'azione euclidea, $S_E$, è l'hamiltoniana di un sistema in 2 dimensioni spaziali; nel seguito eviterò il sottoscritto $E$, perché rimarrò saldamente nell'euclideo, e darò per scontato che il tempo diventi la "direzione $0$" nell'euclideo; Dobbiamo ancora capire bene che significa integrare con la misura $[{\cal D}\phi]$. Uno dei modi migliori per capire chi sia $[{\cal D}\phi]$, a mio avviso, è il seguente. Allora, sappiamo che in linea del tutto generale quell'integrale funzionale significa: integra su tutte le possibili configurazioni di campo. Ora, noi abbiamo un campo scalare $\phi(x)$ definito in ogni punto dello spazio (ricordate che siamo nell'euclideo, $x$ è un vettore con due componenti, $x_0$, l...