Lattice QCD per principianti - 1/N

Avvertenza preliminare: questo non è un corso, e non prometto di essere rigoroso in quel che andrò scrivendo. Allo stesso tempo, ovviamente, cercherò di evitare scemenze clamorose, ma il momento del fesso è sempre in agguato. Non potrò dimostrare tutto, quindi alcune cose le dovrete prendere per buone, sulla fiducia. Se non vi fidate (e a volte farete bene a non fidarvi, visto che io stesso saltuariamente non mi fido di me) potete sempre consultare la letteratura scientifica seria sull'argomento. Detto questo, sto cercando di immaginare un percorso. Un percorso che parte da lontano, da un luogo della mente che non ha nulla a che fare con quark, gluoni e QCD. In particolare da un modello che nel campo della Meccanica Statistica è diventato talmente famoso da incarnare un ruolo paradigmatico. Quindi, signore e signori, ecco a voi...

Quel monello di Ising

Esiste un fenomeno chiamato ferromagnetismo. Prendete un materiale ferromagnetico (banalmente: un pezzo di ferro) sotto la sua temperatura critica, detta anche temperatura di Curie (tra parentesi il ferro a temperatura ambiente è ampiamente sotto la sua temperatura critica; e Curie non è la famosa Madame, ma il meno famoso marito) e immergetelo in un campo magnetico. Il pezzo di ferro si magnetizza, ossia diventa una calamita. Ora rimuovete il campo magnetico: il pezzo di ferro continua a essere una calamita (almeno per un po': nella sua realtà fisica il fenomeno è molto complicato). Se invece il tutto accade sopra la temperatura critica, il pezzo di ferro si smagnetizza (cessa di essere una calamita) non appena spegnete il campo magnetico.

Tutto questo ci insegna che esistono materiali che mostrano magnetizzazione spontanea (cioè magnetizzazione in assenza di campo magnetico) al di sotto di una certa temperatura critica (chiamiamola $T_c$). $T_c$ segna dunque il punto di una cosiddetta transizione di fase. Per $T > T_c$ il materiale è paramagnetico (si magnetizza solo in presenza di un campo magnetico esterno), mentre per $T < T_c$ il materiale diventa ferromagnetico (mostra magnetizzazione spontanea anche in assenza di campo magnetico esterno).
Spiegare completamente i fenomeni ferromagnetici è un gran casino: occorre considerare gli spin degli elettroni, il momento orbitale degli stessi, l'accoppiamento spin-orbita, l'interazione di scambio... Non che non si possa fare, almeno in certe approssimazioni, ma occorre quasi un intero corso di Struttura della Materia. In alternativa si può cercare di creare un modello che astragga dalla realtà le variabili fisiche fondamentali e rilevanti, e solo quelle, semplificando all'osso, per così dire, la realtà stessa, sperando che il modello ottenuto, forse risolubile per via della sua semplicità, possa darci di riflesso qualche informazione sulla realtà fisica originaria.
Fu quel che provò a fare W. Lenz, all'epoca professore presso l'Università di Amburgo. Propose al suo studente di dottorato, E. Ising, un modello estremamente semplificato del ferromagnetismo. Immaginò che la magnetizzazione locale, ossia quella relativa a un singolo atomo, fosse una "freccetta" di lunghezza $1$ che potesse puntare solo in due versi, nella stessa direzione: o in alto o in basso. Se la freccia punta in alto, allora la variabile che misura la magnetizzazione nel sito $x$, e che chiameremo $s_x$, vale $1$; se punta in basso allora $s_x = -1$. Immaginò che queste "variabili di spin" fossero definite sui siti di un reticolo (noi per semplicità lo prenderemo semplicemente cubico, ossia, in due dimensioni, quadrato). Immaginò anche che solo spin "primi vicini" potessero interagire direttamente tra loro. L'immagine che segue dovrebbe spiegare la situazione.

Nell'immagine c'è il sito $x$ su cui risiede uno spin positivo; e ci sono i suoi $4$ primi vicini, due con spin positivi (quelli in direzione orizzontale) e due negativi (quelli in direzione verticale).

L'hamiltoniana del modello (con campo magnetico esterno nullo) è: $$ H = -J\sum_{\langle x,y \rangle} s_x s_y $$ in cui $J$ è una costante positiva (con le dimensioni di un'energia) e il simbolo $\langle x,y \rangle$ significa che $x$ e $y$ sono "primi vicini". Quindi la somma è su tutti i possibili primi vicini del reticolo che abbiamo definito sopra. Vedete bene che poiché $J > 0$ (accoppiamento ferromagnetico) gli spin, per motivi energetici, tendono a stare allineati tra loro. Infatti quando tutti gli spin sono allineati, diciamo tutti $+1$ o tutti $-1$, non importa, l'energia è minima e vale $E = -cNJ$, in cui $c$ è il numero di coordinazione del reticolo e $N$ il numero di spin che stiamo considerando (numero che nel limite termodinamico tenderemo a considerare infinito). Per un reticolo semplicemente cubico come quello che prenderemo in esame nel seguito, $c = d$, dove $d$ è la dimensionalità del sistema. Come si evince dalla figura sopra, infatti, ogni sito, in $d=2$ dimensioni, ha esattamente $2$ primi vicini nelle direzioni positive. Se contassimo anche quelli nelle direzioni negative avremmo un overcounting di un fattore $2$.

Ora, quand'è che gli spin possono essere tutti esattamente allineati? Ovviamente quando $T=0$. A temperatura nulla non c'è agitazione termica e possiamo dire che "vince l'energia", ossia la configurazione di spin cerca di minimizzare l'energia, e la minimizza appunto quando tutti gli spin sono allineati. Se definiamo la magnetizzazione come il valor medio di $s_x$, normalizzata sul numero di spin totali del sistema, vediamo che la magnetizzazione stessa può valere $1$ (tutti gli spin su, con certezza) oppure $-1$ (tutti gli spin giù). Questa è la fase "completamente ordinata". In generale chiameremo "ordinata" la fase in cui la magnetizzazione $m$ ha un valore d'aspettazione (quindi in senso statistico) diverso da zero. 

Che succede invece a temperature molto molto alte? Succede che per agitazione termica gli spin tendono a "girarsi", a fare un po' come gli pare. Nel limite di temperatura infinita, in media, avremo che la metà degli spin sono diretti verso l'alto ($s_x = 1$) e metà verso il basso ($s_x = -1$), in maniera completamente casuale. In questo caso l'energia vale $0$, e anche la magnetizzazione $m=0$. Siamo in quella che chiamiamo "fase disordinata".

Per capire la faccenda della magnetizzazione dobbiamo entrare un po' più nel dettaglio. Come è definita esattamente la magnetizzazione? In Meccanica Statistica, nell'ambito del formalismo canonico, la magnetizzazione è definita in questo modo: $$ m = \frac{1}{Z}\sum_{\cal C}\left(\frac{1}{N}\sum_x s_x\right) \mathrm{e}^{-\beta H[C]} $$
Ok, un sacco di carne al fuoco, vediamo di andare con ordine. $\beta = 1/k_{\text{B}}T$, in cui $k_{\text{B}}$ è la costante di Boltzmann. Nel seguito userò la convenzione $k_{\text{B}}=1$,; nulla di grave, significa solo che la temperatura ha la stessa dimensione ingegneristica dell'energia. Quindi d'ora in poi $\beta = 1/T$. $Z$ è la cosi detta funzione di partizione canonica del sistema, serve da normalizzazione (e non solo) ed è definita in questo modo: $$ Z = \sum_{\cal C}\mathrm{e}^{-\beta H[C]} $$ ${\cal C}$ è una generica configurazione del sistema, e quindi $\sum_{\cal C}$ significa somma su tutte le possibili configurazioni del sistema. Per essere chiari, in termini matematici abbiamo $$ \sum_{\cal C} \equiv \sum_{s_1=\pm 1}\sum_{s_2=\pm 1}\cdots\sum_{s_N=\pm 1} $$
Un pensiero un po' ingenuo (ma come vedremo dopo non così ingenuo, dopotutto) ci porta a pensare che se per $T=0$ il sistema è in una fase ordinata, in cui il così detto parametro d'ordine, cioè la magnetizzazione, vale $1$, e se per $T=\infty$ il sistema è una fase disordinata in cui $m=0$, deve esistere una temperatura particolare, $T_c$, in cui il sistema passa da ordinato a disordinato, o viceversa; dipende se aumentiamo o diminuiamo la temperatura. Questo è il punto di transizione di fase, e questa era un po' l'idea originaria di Lenz.
Ising molto probabilmente ha fatto del suo meglio, all'epoca, e riuscì a risolvere il sistema in dimensione $d=1$. La risposta è che la transizione avviene esattamente a $T=0$, cioè in pratica il modello di Ising in una dimensione non ha mai magnetizzazione spontanea. È sempre nella fase disordinata.
Prima o poi qualcuno, a meno che non sia già stato fatto, dovrà scrivere un lungo saggio sulla vita di Ising. Sconfortato dal risultato ottenuto e pensando che detto risultato potesse essere esteso a qualsiasi dimensione, per via della semplicità stessa del modello, abbandonò la ricerca, cominciò a insegnare in un liceo e poi per via della sua appartenenza alla stirpe ebraica fu internato in un campo di concentramento durante il nazismo. Scampato fortunosamente alla morte, emigrò negli USA, dove ricominciò la sua tranquilla vita di insegnante di liceo. Figuratevi la sua faccia quando un giornalista, un così detto divulgatore scientifico, negli anni 50 del secolo scorso andò a casa sua per intervistarlo circa il suo famoso modello. Ising credo rispose una cosa tipo: "Er modello de chi?" (Ogni tanto i miei personaggi paradossalmente parleranno in romanesco, saprete perdonarmi). Insomma, lui non ne sapeva nulla, avulso com'era dalla pulsante vita accademica dell'epoca, ma nel frattempo il modello inventato da Lenz era diventato noto e stranoto come modello di Ising, e questo per tre ottime ragioni:

1. Nel 1936 Peierls dimostrò rigorosamente che in $d \ge 2$ il modello di Ising mostrava una transizione di fase per una temperatura critica $T_c > 0 $;
2. Nel 1941 Kramers e Wannier, con un argomento di autodualità, riuscirono a calcolare l'esatta temperatura critica $T_c$ in dimensione $d = 2$;
3. Nel 1944 Onsager, al termine di un vero e proprio tour de force matematico, riuscì a risolvere il modello, ossia a calcolare analiticamente l'energia libera, in $d=2$ con campo magnetico nullo.

Si noti che a tutt'oggi non è nota una soluzione analitica del modello in $d=3$.

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