Lattice QCD per principianti - 11/N

Il calcolo di $\alpha_{\text{strong}}$

Oramai anche gli studenti delle superiori imparano, verso la fine del loro corso di studi, che il valore della così detta costante di struttura fine è $$ \alpha_{\text{em}} = \frac{1}{137.05999\cdots} $$ familiarmente nota come uno su centotrentasette. Al netto di costanti dimensionali, tipo $c\hbar$, che servono a rendere $\alpha_{\text{em}}$ adimensionale e che comunque in unità naturali valgono $1$, e al netto di eventuali fattori $4\pi$ (che i più audaci tendono comunque a porre uguale a $1$), la costante di struttura fine è sostanzialmente il quadrato della carica elettrica dell'elettrone, e cioè il quadrato della costante d'accoppiamento della QED.

Ciò che forse è meno noto è che il valore numerico di $\alpha_{\text{em}}$ dipende dalla scala a cui la si misura. Per esempio, alla scala dello $Z$ ($m_Z \simeq 91\,\text{GeV}$) si trova $\alpha_{\text{em}}(\mu=m_Z) \simeq 1/128$, cioè $\alpha_{\text{em}}$ cresce al crescere della scala di energia a cui la si misura. Allora cosa significa, esattamente, dire che $\alpha_{\text{em}}$ vale uno su centotrentasette? In generale nulla. In questo caso particolare significa che quello è il valore (approssimato) di $\alpha_{\text{em}}$ alla scala della massa dell'elettrone, cioè in un limite infrarosso.

Il problema è che le così dette costanti d'accoppiamento delle teorie di campo sono tutto tranne che costanti. Innanzitutto occorre distinguere un po' di cose. All'inizio della storia compaiono gli accoppiamenti bare, oppure se preferite nudi, che sono quelli che compaiono nella lagrangiana della teoria prima che questa sia stata regolarizzata. Su questi accoppiamenti, almeno in un primo momento, non possiamo dire nulla; sono parametri liberi della teoria.

In fase di regolarizzazione appare una scala di momento arbitraria (chiamiamola genericamente $\mu$), per un motivo o per un altro. Per esempio se banalmente "tagliate" gli integrali sul momento dei loop e decidete che il limite superiore è $\Lambda$, per non far divergere gli integrali stessi, allora $\mu = \Lambda$ (notate che questa cosa è impossibile da fare in maniera ingenua per teorie di gauge, perché perdereste l'invarianza di gauge). In regolarizzazione dimensionale, il coupling è adimensionale in $d=4$ dimensioni, ma se cambiate dimensioni dovete ridefinire il coupling moltiplicandolo per una scala di massa $\mu$ elevata a una certa potenza per continuare ad avere un coupling adimensionale (cosa che è necessaria per mantenere la rinormalizzabilità della teoria; alla fine sempre lì andiamo a parare). Se introducete il reticolo, il passo reticolare $a$ fornisce una scala di momento $\mu = 1/a$. Come che sia, a questo punto è fondamentale capire che il coupling bare diventa il coupling rinormalizzato alla scala del cut-off. 

L'idea di base del Gruppo di Rinormalizzazione è che la fisica "rinormalizzata" non può dipendere da una scala di massa arbitraria, che abbiamo introdotto noi solo per non far esplodere certi integrali. Da questo discende immediatamente che i parametri liberi della lagrangiana devono variare in un certo modo preciso al variare della scala arbitraria, in modo tale che i risultati fisici restino uguali. Il modo in cui deve variare $g$ al variare di $\mu$ affinché la fisica non cambi è dettato dalla così detta $\beta$-function della teoria: $$ \mu\frac{\text{d}\,g(\mu)}{\text{d}\mu} = \beta(g(\mu)) $$ La $\beta$-function in QFT può essere calcolata perturbativamente come uno sviluppo in serie di Taylor: $$ \beta(x) = -\sum_{n \ge 0} b_n x^{2n+3} = - b_0 x^3 - b_1 x^5 + \cdots $$ I coefficienti $b_n$, in generale, dipendono dallo schema di rinormalizzazione scelto per calcolarli, ma per qualche sorta di magia perturbativa i primi due, cioè $b_0$ e $b_1$, sono universali, ossia sono uguali in tutti gli schemi di rinormalizzazione. Ora, facendo i conti, esce fuori che la $\beta$-function della QED, almeno da quel che ne sappiamo perturbativamente, è positiva, mentre quella della QCD è negativa.

Consideriamo il caso della QCD. Il segno della $\beta$-function ci dice che il coupling $g(\mu)$ diminuisce all'aumentare della scala $\mu$ e si annulla asintoticamente quando $\mu \to \infty$. Questa proprietà va sotto il nome di libertà asintotica, perché significa che i quark all'interno di un adrone, quando vengono stuzzicati da una sonda (per esempio un elettrone) ad altissime energie, si comportano come se fossero liberi, non legati tra di loro. Ma questo è esattamente quel che si vede negli esperimenti di Deep Inelastic Scattering (DIS), o Diffusione Profondamente Anelastica.

Per contro, al diminuire della scala di energia il legame tra quark diventa sempre più forte (la costante d'accoppiamento cresce), e si crede sia questo il meccanismo di base che porta al confinamento, ossia al fatto che non abbiamo mai osservato quark liberi.

Per rendere più semplice la discussione che segue, fermiamoci al primo ordine perturbativo, ossia poniamo $\beta(x) = -b_0x^3$, trascurando tutti i termini di ordine superiore. Assumendo che $\Lambda$ sia il valore di $\mu$ per il quale l'accoppiamento diverge, possiamo integrare (abbastanza) facilmente l'equazione per la $\beta$-function, e otteniamo $$ \Lambda = \mu\exp\left( -\frac{1}{2b_0g^2(\mu)} \right) $$ Occorre notare che $\Lambda$ non dipende né da $\mu$ né da $g(\mu)$, ossia è un vero parametro fisico, una scala di massa che emerge naturalmente da una teoria senza una scala di massa intrinseca (sto pensando sempre alla Light-QCD). Questo fenomeno, ossia l'emergere di una scala da una teoria senza scala, è chiamato trasmutazione dimensionale.

Sebbene $b_0$ sia un coefficiente universale, il coupling $g(\mu)$ dipende dallo schema di rinormalizzazione, e quindi anche l'effettivo valore di $\Lambda$ ne dipende: passare da uno schema all'altro però costa solo e sempre un conto a un loop. In generale, ammettendo di conoscere la vera $\beta$-function della teoria, si può dare una definizione non-perturbativa di $\Lambda$, che non scrivo qui perché è un'espressione piuttosto complicata che non semplifica la discussione. Quel che è importante capire è che a questo punto, una volta noto $\Lambda$, tutte le quantità dimensionali, tipo le masse adroniche, potranno essere scritte come coefficiente-numerico per $\Lambda$ a una certa potenza (nel caso delle masse la potenza è ovviamente $1$). Non vi sorprenderà sapere che le ultime stime di $\Lambda$, calcolato non-perturbativamente e trasportato nello schema $\overline{\text{MS}}$, dànno un valore di circa $200\;\text{MeV}$, ossia dell'ordine di grandezza delle masse adroniche più leggere.

Dovrebbe essere chiaro che il calcolo non-perturbativo di $\Lambda$ è completamente equivalente al calcolo non-perturbativo della costante d'accoppiamento a una scala $\mu$ tale che da quella scala in poi la teoria delle perturbazioni funzioni in maniera decente. Per comodità e per tradizione scegliamo questa scala come la massa del bosone $Z$, e in più definiamo $$ \alpha_s(\mu) = \frac{g^2(\mu)}{4\pi} $$ $\alpha_s$ è l'equivalente, in QCD, della costante di struttura fine della QED. 

Ma perché è così importante avere un valore preciso di $\alpha_s(M_Z)$ (e quindi di $\alpha_s$ a scale maggiori, tramite evoluzione perturbativa)? Giusto per fare un esempio, perché questa quantità entra in tutti i calcoli, analitici o numerici, che servono a interpretare i dati di LHC; vi sembra poco? Come misurare $\alpha_s$ sperimentalmente è stato spiegato, in maniera molto semplice e brutale, nell'ottava puntata di questa serie. Di seguito mostro un plot tratto dal Particle Data Group report del 2019:

Il valore quotato di $\alpha_s$ è nello schema $\overline{\text{MS}}$, che è quello comunemente più usato (il più comodo, diciamo). Come si nota bene, processi fisici diversi portano a determinazioni di $\alpha_s$ che sono in ottimo accordo tra loro. Si vede perfettamente come il running della costante d'accoppiamento decresca (logaritmicamente) a zero ad alte scale di energia ed esploda a basse energie. Ora, la domanda è: si può fare di più? Certamente sì. Anticipo il risultato. La determinazione su reticolo di $\alpha_s$ nello schema $\overline{\text{MS}}$, alla scala di massa dello $Z$, è $\alpha_s(M_Z) = 0.11823 \pm 0.00081$. Pur tenendo conto di tutti gli errori statistici e sistematici, il risultato ha una precisione marginalmente (per il momento) migliore di quello sperimentale ed è pienamente compatibile con questo.

Ora sono abbastanza sicuro che mi chiederete cosa c'entra lo schema $\overline{\text{MS}}$ col reticolo, e come si conciliano le cose. È una domanda legittima in effetti. Il problema è che chi calcola $\alpha_s$ su reticolo poi vorrebbe la risposta, alla scala dello $Z$, nello schema $\overline{\text{MS}}$, ma un calcolo diretto di $\alpha_s$ su reticolo comporta l'uso di uno schema reticolare (ce ne sono diversi, ovviamente). Allora, la risposta, in linea di principio (molto di principio)  è questa. Facciamo una simulazione con un passo reticolare $a$ talmente fine (diciamo $a^{-1} \ge 10\,\text{GeV}$) da poter ragionevolmente credere alla teoria delle perturbazioni al secondo ordine (vi ricordo che i primi due coefficienti della $\beta$-function sono universali). Calcoliamo numericamente il valore di un certo osservabile fisico, diciamo $R$. Tale osservabile è stato scelto in modo furbo, in modo tale che ammetta uno sviluppo perturbativo del tipo $$ R = \alpha_L + r_2\alpha^2_L + \cdots $$ in cui $\alpha_L$ è la costante d'accoppiamento forte nello schema del reticolo. La scala è data dall'inverso del passo reticolare. Il confronto tra il valore calcolato e il valore sperimentale di $R$ ci dà il valore di $\alpha_L(\mu = a^{-1})$. Ma il valore di $a$ è così piccolo, o se volete il valore di $\mu$ così grande, che abbiamo detto che possiamo fidarci di teoria delle perturbazioni: quindi calcoliamo $R$ in teoria delle perturbazioni nel continuo nello schema $\overline{\text{MS}}$. Il confronto tra i due risultati alla fine ci dà $\alpha_s(\mu=a^{-1})$ nello schema $\overline{\text{MS}}$, e quindi ora basta evolvere la scala fino alla massa dello $Z$ con la $\beta$-function perturbativa.

Nella realtà le cose non sono così semplici, ci sono un sacco di accorgimenti molto tecnici da prendere, ma spiegarli ci porterebbe veramente molto lontano (e soprattutto dovrei scrivere un sacco). Mi contento di dire che questi accorgimenti possono essere presi, sono stati presi, e il risultato è quello che vi ho menzionato sopra. Mi sono permesso di dilungarmi sul calcolo reticolare di $\alpha_s$ solo perché per un bel po' di anni ho partecipato attivamente alla faccenda.