Lattice QCD per principianti - 2/N

Il bosone di Higgs

No, non parlerò del bosone di Higgs. V'ho fregato, eh? Vi parlerò di una teoria di campo chiamata genericamente $\phi^4$ per motivi che saranno chiari in seguito, spero. In realtà questa teoria ha molto, moltissimo a che fare col bosone di Higgs, ma presenterò una versione semplificata, diciamo la cugina povera di quella che rientra nel Modello Standard.

Come certamente saprete, l'equazione di Schrödinger ha qualche problema con la relatività ristretta. Klein e Gordon provarono a metterci una pezza ("ma sì, eleviamo al quadrato, cosa potrà succedere di male..."), ma fu ben presto chiaro che la loro equazione non poteva descrivere una funzione d'onda nello stesso senso in cui l'equazione di Schrödinger la descrive. Per dirla con le parole di Itzikson e Zuber (Quantum Field Theory, pagina 46 della prima edizione):

We can expect some trouble in the search for a relativistic and quantum description of a point particle. Indeed, relativity associates a momentum scale $p = mc$ to a particle of mass $m$. But the uncertainty relations $\Delta x \Delta p \sim \hbar$ tell us that for length scales smaller than the Compton wavelength $\lambda = \hbar/mc$, the concept of a point particle may suffer difficulties. Analyzing the position of the particle with a greater accuracy requires an energy momentum of the same order of the rest mass, thus allowing the creation of new particles.

Notate l'understatement che non mi sembra tipicamente francioso: possiamo aspettarci qualche prolema... Alla faccia del problema! Il fatto è che non si può. Non si può perché una teoria quantistica e relativistica richiede una cosa chiamata seconda quantizzazione, e in definitiva la teoria dei campi. Una teoria in cui le particelle sono i "quanti" del campo associato, particelle che possono essere create e distrutte, insomma, un gran bordello.

Adesso passiamo ai campi, a configurazioni di campo. Cosa succede all'equazione di Klein-Gordon in questa nuova prospettiva? E soprattutto, cosa succede se le particelle descritte dall'equazione di KG possono autointeragire con loro stesse? Un po' allo stesso modo in cui il bosone di Higgs autointeragisce con sé stesso (qualsiasi commento che tiri in ballo l'onanismo verrà castrato).

Diciamo che possiamo scrivere questa Lagrangiana: $${\cal L}[\phi,\partial_\mu\phi] = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi(x)\partial^\mu\phi(x) - \frac{m_0^2}{2}\phi^2(x) - \frac{g_0}{4}\phi^4(x)$$

Minimal FAQ

1. Perché davanti ai termini $\phi^2$ e $\phi^4$ ci sono costanti ignote e invece davanti al termine cinetico c'è solo $1/2$?
   Perché posso sempre riscalare i campi in modo tale da avere $1/2$ in quel punto, a costo di ridefinire $m_0$ e $g_0$, tanto non li so a priori; per comodità.
2. Perché c'è quello $0$ sotto le costanti?
   Perché sono costanti "bare", e più non dimandare.
3. Perché ti sei fermato a $\phi^4$ e non hai messo anche termini $\phi^6$, $\phi^8$ eccetera?
   Adesso mando il fantasma di K.G. Wilson a tirarti le lenzuola: perché quelli sarebbero termini irrilevanti. L'ho detto all'inizio che non potevo spiegare tutto tutto.
4. Uhm, ok... Ma perché solo termini pari?
   Perché voglio mantenere una simmetria globale $Z(2)$, e perché se mettessi un termine dispari tipo $h\phi(x)$ starei introducendo una cosa tipo un campo magnetico esterno nel modello di Ising... Ma questo è spoiler, cosa mi fai dire!

La rotazione di Wick

Data la Lagrangiana, posso scrivere l'Azione. Per semplicità di esposizione, e per quel che verrà in seguito, la scriverò in due dimensioni (una spaziale, $x$, e una temporale, $t$); l'estensione a più dimensioni spaziali è banale. $$ S[\phi,\partial_\mu\phi] = \int \text{d}t\,\text{d}x\, {\cal L}[\phi,\partial_\mu\phi]$$

Il motivo per cui scrivo l'Azione è il seguente: utilizzando l'approccio path integral à la Feynman posso definire una cosa che è chiamata funzionale generatore e che suona più o meno così: $${\cal Z} = \int [{\cal D}\phi]\, \text{e}^{-iS[\phi,\partial_\mu\phi]}$$ I più accorti tra voi avranno notato che mi sono già posizionato nelle unità di misura naturali in cui $c = \hbar = 4\pi = 1$. No, è uno scherzo, non datemi retta, $4\pi$ continua a valere $4\pi$.

La prima domanda che sorge spontanea, immagino, è: "Ma che ce frega der funzionale generatore?" Ecco, il fatto è che tramite opportune derivate funzionali dello stesso, o del suo logaritmo, ma qui stiamo tracimando, posso calcolare (in linea di principio) tutte le funzioni a $n$ punti della teoria. In pratica posso calcolare tutto, risolvere la teoria, ottenere la matrice di scattering, qualsiasi cosa! Che ficata, eh? (Fosse così semplice...)

La seconda domanda, spero, è: "Ma chiccazzo è $[{\cal D}\phi]$". Se fosse uno stato affettivo su facebook risponderei "una situazione complicata". Il problema è che quell'oggetto è maledettamente mal definito da un punto di vista matematico. Dovete chiedere a matematici seri per ottenere una risposta seria: e non la otterrete. Quell'integrale vuol dire "sommate su tutte le possibili configurazioni del campo $\phi$". Vi ricorda qualcosa? Eheheh...

Ora facciamo il trucco di Wick. Nonostante il nome esotico, Giancarlo Wick era italianissimo (di Torino), passato alla storia della fisica per le contrazioni di Wick (e non erano coliche renali) e appunto per la sua rotazione. Poniamo $t = -ix_0$ (quindi ruotiamo di $\pi/2$ la variabile temporale sul piano complesso, per questo "rotazione" di Wick") e vediamo che succede. Prima di tutto, la metrica da minkowskiana diventa euclidea: il tempo ha la stessa segnatura dello spazio (e ricordate che siamo in unità naturali quindi $c=1$). Facendo un po' di conti, che mi risparmio ma siete invitati a fare, otteniamo che l'azione euclidea è data da: $$S_\text{E} = \int\text{d}^2x\,\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi(x))^2 + \frac{m_0^2}{2}\phi^2(x) + \frac{g_0}{4}\phi^4(x)\}$$ Notate il cambio dei segni. E la nostra azione è diventata... ooops, un'hamiltoniana! E il funzionale generatore diventa cosa? $$ {\cal Z}_\text{E} = \int [{\cal D}\phi]\, \text{e}^{-S_\text{E}[\phi,\partial_\mu\phi]}  $$ Lo ripeto: vi ricorda qualcosa?

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