Lattice QCD per principianti - 7/N

QED su reticolo: 2

Nella puntata precedente abbiamo visto che per rendere gauge invariante (in senso locale) un'espressione tipo $\bar{\psi}(x)\psi(x + a\hat\mu)$ dobbiamo introdurre un nuovo campo, $U_\mu(x)$, che vive sui link del reticolo e che sotto trasformazioni di gauge si comporta in questo modo: $$ U_\mu(x) \to \text{e}^{i\alpha(x)}U_\mu(x)\text{e}^{-i\alpha(x+a\hat\mu)} $$ In questo caso una roba tipo $\bar{\psi}(x)U_\mu(x)\psi(x+a\hat\mu)$, che ci serve per scrivere le derivate discretizzate su reticolo, diventa gauge invariante. Ora il problema è capire se questo nuovo campo è un artefatto matematico che ci serve solo per far tornare le cose o ha un significato fisico.

Per capirlo torniamo un attimo nel continuo euclideo e chiediamoci come rendere gauge invariante un'espressione tipo $ \bar{\psi}(x)\psi(y) $. Sappiamo come fare: dobbiamo scrivere una cosa tipo $$ \bar{\psi}(x){\cal P}\exp\left( \int_{x}^{y}\text{d}z\, igA_\mu(z) \right) \psi(y) $$ in cui il simbolo ${\cal P}$ sta per path-ordered, $g$ è la costante d'accoppiamento della teoria (la carica elettrica, insomma) e $A_\mu(z)$ è il campo del fotone nel punto $z$. Notate che il termine che abbiamo introdotto tra $\bar{\psi}(x)$ e $\psi(y)$ si trasforma esattamente nello stesso modo della nostra famosa $U_\mu(x)$.

Adesso però consideriamo che $a$, il passo reticolare, è una quantità "piccola", in qualunque senso vogliate considerare "piccola". Insomma, non vogliamo un passo reticolare lungo un metro, sembrerebbe un modo assurdo di discretizzare lo spazio-tempo. E considerate che alla fine tendiamo al limite $a \to 0$. Ma allora nell'espressione nel continuo che ho scritto prima, se la ripensiamo su reticolo, $y$ dista da $x$, in linea retta, molto molto poco. Sembra ragionevole assumere che su quella brevissima traiettoria rettilinea il campo $A_\mu$ sia circa costante e che quindi possiamo scrivere $$ \bar{\psi}(x)\text{e}^{iagA_\mu(x)} \psi(x+a\hat\mu) $$ Ah. Uh. Ma allora... Se $A_\mu(x)$ vive nell'algebra di $\text{U}(1)$, $U_\mu(x)$ vive nel gruppo. È un elemento di $\text{U}(1)$. Quindi a questo punto non ci resta che trovare un modo per scrivere la parte cinetica dei campi di gauge in termini delle variabili $U_\mu(x)$, e poi abbiamo fatto.

Fotoni su reticolo

Prima di continuare, appuntiamoci alcuni fatti fondamentali: $$U_\mu^\dagger(x) = U_\mu^{-1}(x)$$ Questo dovrebbe essere chiaro. Come dovrebbe essere chiaro che $$U_{-\mu}(x+\mu) = U_\mu^\dagger(x)$$ Nell'ultima espressione ho dato per scontato, per semplicità di notazione che continuerò d'ora in poi a usare, che con $x+\mu$ intendo $x + a\hat\mu$. Ora prendiamo in considerazione la quantità $$ U_{\mu\nu}(x) = U_\mu(x) U_\nu(x+\mu) U_\mu^\dagger(x+\nu) U_\nu^\dagger(x) $$ $U_{\mu\nu}(x)$ è un quadrato elementare su reticolo, il più piccolo percorso chiuso che si possa costruire. Per gli amici è una plaquette.

Per ogni sito $x$ abbiamo 6 plaquette. Infatti le direzioni $(\mu,\nu)$ possono essere: $(0,1)\,(0,2)\,(0,3)\,(1,2)\,(1,3)\,(2,3)$. 

Ora prendiamo in considerazione la seguente quantità: $$ \frac{1}{2g^2}[1-\text{Re}\,U_{\mu\nu}(x)] = \frac{1}{2g^2}\{1 - \cos(ag[A_\mu(x) + A_\nu(x+\mu) - A_\mu(x+\nu) - A_\nu(x)])\} $$ Sviluppiamo in serie di Taylor il coseno assumendo che $a \to 0$. La nostra quantità diventa, al primo ordine non banale, $$ \frac{a^2}{4}[A_\mu(x) + A_\nu(x+\mu) - A_\mu(x+\nu) - A_\nu(x)]^2 $$ Forse cominciate a vedere dove andrò a parare. Consideriamo infatti $$ F_{\mu\nu}(x) = \partial_\mu A_\nu(x) - \partial_\nu A_\mu(x) $$ e discretizziamo le derivate nel modo più ingenuo possibile ($\partial_\mu f(x) = [f(x+\mu)-f(x)]/ a + \cdots$); riarrangiando i termini otteniamo $$ F_{\mu\nu}(x) = \frac{1}{a}[A_\mu(x) + A_\nu(x+\mu) - A_\mu(x+\nu) - A_\nu(x)] $$ Ecco dove siamo andati a parare: se la mettiamo su reticolo l'azione euclidea per i campi di gauge diventa $$ S_g = \frac{1}{4}\int\text{d}^4x\;F_{\mu\nu}F_{\mu\nu} \to \frac{a^4}{4a^2}\sum_x\sum_{\nu > \mu}[A_\mu(x) + A_\nu(x+\mu) - A_\mu(x+\nu) - A_\nu(x)]^2 $$ Ma questa è esattamente la quantità che abbiamo calcolato prima: dunque su reticolo possiamo scrivere $$ S_g = \frac{1}{2g^2}\sum_x\sum_{\nu > \mu}[1-\text{Re}\,U_{\mu\nu}(x)] $$