Lattice QCD per principianti - 3/N

Ridicolizziamo lo spazio-tempo

Riassunto delle puntate precedenti:

1. Abbiamo scritto l'azione per una teoria di campo scalare, autointeragente, in 1+1 dimensioni;
2. Tramite rotazione di Wick siamo passati all'euclideo;
3. Troviamo che l'azione euclidea, $S_E$, è l'hamiltoniana di un sistema in 2 dimensioni spaziali; nel seguito eviterò il sottoscritto $E$, perché rimarrò saldamente nell'euclideo, e darò per scontato che il tempo diventi la "direzione $0$" nell'euclideo;
4. Dobbiamo ancora capire bene che significa integrare con la misura $[{\cal D}\phi]$.

Uno dei modi migliori per capire chi sia $[{\cal D}\phi]$, a mio avviso, è il seguente. Allora, sappiamo che in linea del tutto generale quell'integrale funzionale significa: integra su tutte le possibili configurazioni di campo. Ora, noi abbiamo un campo scalare $\phi(x)$ definito in ogni punto dello spazio (ricordate che siamo nell'euclideo, $x$ è un vettore con due componenti, $x_0$, l'ex tempo, e $x_1$). Adesso sostituiamo il continuo euclideo con un reticolo semplicemente cubico (in questo caso quadrato) con passo reticolare $a$ e pretendiamo che i campi possano vivere solo sui siti del reticolo. Ogni sito sarà etichettato da un vettore di interi a due componenti, che continueremo a chiamare $x$. Oltretutto rendiamo finito il nostro sistema, ossia chiudiamolo in una scatola di lato $L = Na$, in cui $N$ è il numero di siti in una particolare direzione. Possiamo imporre condizioni periodiche al bordo, per esempio, ma questo non è essenziale. Il volume totale del sistema è $V = L^2$.

In questo mondo discretizzato otteniamo che $$[{\cal D}\phi] = \lim_{a\to 0}\lim_{V\to\infty}\prod_x\text{d}\phi(x)$$

(attenzione all'ordine dei limiti: se prima mandiamo il passo reticolare a zero, dopo non abbiamo più nessun volume da espandere all'infinito). Poiché cominciamo a prenderci gusto, vediamo cosa accade alla nostra azione euclidea una volta che abbiamo discretizzato lo spazio. Ovviamente l'integrale in $\text{d}^2x$ diventa una somma su tutti i siti del reticolo: $$\int\text{d}^2x \to a^2 \sum_x$$ I termini $\phi^2$ e $\phi^4$ non offrono nessun particolare problema; dobbiamo capire cosa fare delle derivate. Usiamo l'approssimazione discreta più semplice: $$\partial_\mu\phi(x) \to \frac{\phi(x+a\hat\mu)-\phi(x)}{a}$$ Dopo un po' di passaggi (che vi invito a scoprire esplicitamente, tanto sono conticini facili facili) e usando l'invarianza per traslazioni (discrete), che vale anche su un reticolo finito a patto di usare condizioni periodiche al bordo, otteniamo $$ S = \sum_x \left\{-\left[ \sum_{\mu=0}^{1}\phi(x)\phi(x+a\hat\mu)\right] + \frac{a^2m_0^2 + 4}{2}\phi^2(x) + \frac{a^2g_0}{4}\phi^4(x) \right\} $$ Ora lasciatemi ridefinire i campi $\phi$ e introdurre due nuovi parametri, $(\beta,\lambda)$, al posto di $m_0$ e $g_0$: $$ \phi(x) = \sqrt{\beta}\varphi(x) \quad a^2m_0^2 = \frac{2(1-2\lambda)}{\beta}-4 \quad a^2g_0 = \frac{4\lambda}{\beta^2}$$ e a costo dell'introduzione di una costante arbitraria nell'azione (che tanto non conta) possiamo riscrivere l'azione stessa in questo modo: $$ S = -\beta \sum_x \sum_\mu \varphi(x)\varphi(x+a\hat\mu) + \sum_x\left[  \varphi^2(x) + \lambda(\varphi^2(x) - 1)^2  \right] $$ Adesso viene il bello: che succede se mandiamo $\lambda \to \infty$? Succede che l'ultimo termine a destra "costringe" il campo $\varphi(x)$ ad assumere solo i valori $\pm 1$. Quindi, al costo di trascurare una costante (sia pure infinita) nell'azione, possiamo tranquillamente scrivere $$ \lim_{\lambda\to\infty} S = -\beta \sum_x \sum_\mu \varphi(x)\varphi(x+a\hat\mu) $$ Ma un momento... $y = x + a\hat\mu$ è esattamente un primo vicino del sito $x$... E allora lasciamoci andare e scriviamo $$ S = -\beta \sum_{\langle x,y\rangle}\varphi(x)\varphi(y) $$ con $\varphi(x) = \pm 1$. Ma... maaa... ma questa è l'hamiltoniana di Ising! Col fattore di temperatura incluso, per giunta!

E cosa ne è del funzionale generatore? A questo punto è chiaro che $\int[{\cal D}\varphi]$ diventa una somma (discreta) su tutte le possibili configurazioni ${\cal C}$ del campo $\varphi$. Quindi possiamo scrivere $$ {\cal Z} = \sum_{\cal C}\text{e}^{-S[{\cal C}]} $$ E questa è proprio la funzione di partizione canonica del modello di Ising (ricordate che il fattore $\beta$ è incluso nell'azione). Con ciò il trasloco da "teoria dei campi" $\phi^4$ a "meccanica statistica" è completo.

Quindi quando sentirete dire che la teoria $\phi^4$ è nella stessa classe di universalità del modello di Ising potrete sfoderare un largo sorriso e dire: "e io so pure perché!". Avrete sentito parlare del problema della trivialità della teoria $\phi^4$ in $d=4$. In ogni caso ne riparleremo, perché la rinormalizzazione di una teoria di campo ha molto a che fare con il "limite del continuo". Non vi sorprenderà sapere, a questo punto, che nella maggior parte degli studi su reticolo sulla trivialità della teoria $\phi^4$ è stato utilizzato proprio il modello di Ising, perché grazie all'universalità modello di Ising e teoria $\phi^4$ hanno gli stessi esponenti critici. Sappiamo per certo che in $d=5$ il modello di Ising ha gli esponenti critici di campo medio, mentre in $d=3$ ha esponenti critici non banali. Il caso $d=4$ è marginale, e tutto il punto sulla trivialità di $\phi^4$ è strettamente collegato agli esponenti critici del modello di Ising in $d=4$.

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